双曲线的四种定义
双曲线第一定义：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
【例1】设圆C1:(x+√5)2+y2=4与圆C2：(x-√5)2+y2=4，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切.求动圆C的圆心轨迹L的方程;
【分析】(1)设动圆圆心M(x，y)，半径为r，则|MC1|=r+2，|MC2|=r﹣2，可得|MC1|﹣|MC2|=r+2﹣r+2=4<|C1C2|，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程.
【解答】解：(1)设动圆圆心M的坐标为M(x，y)，半径为r，
则|MC1|=r+2，|MC2|=r﹣2，
∴|MC1|﹣|MC2|=r+2﹣r+2=4<|C1C2|=2，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a=4，a=2，b=1，
双曲线的方程为：x2/4-y2=1(x≥2);
【点评】通过圆与圆的位置关系，消除动圆半径后符合双曲线的定义，通过定义直接写出方程.
双曲线第二定义(统一定义)：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e>1，即为双曲线的离心率;定点不在定直线上)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
【例2】设双曲线x2-y2/3=1的左右焦点为F1，F2.点P(6，6)为双曲线内部的一点，点M是双曲线右支上的一点，求|MP|+|MF2|/2的最小值.
【分析】设过M作准线的垂线MN，垂足为N，欲求|MP|+|MF2|/2的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值.
【解答】解∵双曲线方程为x2-y2/3=1，
∴a=1，b=√3，c=2，
可得离心率e=2，
设过M作准线的垂线MN，垂足为N，则|MF2|/|MN|=2，
∴|MN|=|MF2|/2，
∴|MP|+|MF2|/2=|MP|+|MN|，
当且仅当M，N，P三点共线时|MP|+|MF2|/2的值最小，这个最小值为6-1/2=11/2.
【点评】求|MP|+|MF2|/2的最小值，通过圆锥曲线的统一定义将|MF2|/2转化为|MN|，点到直线垂线段最短.
双曲线第三定义(参数方程)：双曲线方程：x2/a2-y2/b2=1，可以看成：(x/a)2-(y/b)2=1。而且：sec2α-tan2α=1，所以x=asecα,y=btanα.
在以a、b为半径的圆上分别画出角α对应的asecα与btanα值对应的线段，以(asecα，btanα)为坐标点形成的轨迹即为双曲线。
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解题的艺术
【说明】双曲线的参数方程不是高考范围内的内容，对比椭圆的参数作为了解。
双曲线第四定义(斜率积)：双曲线的两个顶点与双曲线上任意一点形成两条直线，两条斜率积为b2/a2。
【例3】已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P(2，1)，直线PA1与PA2(A1，A2为双曲线C的两个顶点)的斜率之积KPA1.KPA2=1，求双曲线C的标准方程.
【分析】分类讨论，设出标准方程，确定双曲线的顶点坐标，利用斜率关系及点P的坐标，即可得到结论.
【解答】
【点评】知道斜率积结论，清晰知道解题思路，把斜率积转化成与a、b相关方程得解.
双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.
双曲线有两个分支.
在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点,定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点.双曲线有两个焦点.
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线.
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的离心率.
双曲线有两个焦点,两条准线.(注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线.但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的.)
双曲线与两焦点连线的交点,称为双曲线的顶点.
双曲线有两条渐近线.
