一、定义域和定义域的表示方法
(1)在函数y=f(x)中,定义域指的是自变量x的所有取值所构成的“集合”(或“区间”)。
(2)定义域要表示成集合形式或区间形式。
(3)当定义域中的x的取值个数有限时,则不能表示成区间形式,而只能表示成集合形式。
二、值域和值域的表示方法
(1)在函数y=f(x)中,值域指的是函数值y的所有取值所构成的“集合”(或“区间”)。
(2)值域和定义域的表示方法相同,值域也要表示成集合形式或区间形式。
(3)当值域中的y的取值个数有限时,则不能表示成区间形式,而只能表示成集合形式。
三、应用举例
指出下列函数的定义域和值域。
【例1】y=1.
答案
:定义域为R;值域为{1}。
解析
:y=1是“y=1(x∈R)”的简写形式。所以,自变量x的取值范围为全体实数,函数值y的取值只有“1”.
【注】实数集“R”的区间形式为“(-∝,+∝)”。
【例2】y=x+1
答案
:定义域为R,值域也为R。
解析
:由函数图象易知函数自变量x的取值范围为全体实数,函数值y的取值范围也为全体实数。
【例3】y=x+1,(x=1,2,3.)
答案
:定义域{1,2,3},值域{2,3,4}。
解析
:由“x=1,2,3”得自变量x的取值只有1、2、3这三个数,而且个数有限,所以只能把定义域表示成这三个取值所对应的集合形式,即{1,2,3}。
因为x=1时,y=2;x=2时,y=3;x=3时,y=4。所以函数值y的取值只有2、3、4这三个数,个数也有限。所以也只能把值域表示成y的这三个取值所对应的集合形式,即{2,3,4}。
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一、配方法。
将函数配方成顶点式的格式,再根据函数的定义域,求得函数的值域。(画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。)
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二、常数分离
这一般是对于分数形式的函数来说的,将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式,进行常数分离,求得值域。
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三、逆求法
对于y=某x的形式,可用逆求法,表示为x=某y,此时可看y的限制范围,就是原式的值域了。
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四、换元法
对于函数的某一部分,较复杂或生疏,可用换元法,将函数转变成我们熟悉的形式,从而求解
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五、单调性
可先求出函数的单调性(注意先求定义域),根据单调性在定义域上求出函数的值域。
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六、基本不等式
根据我们学过的基本不等式,可将函数转换成可运用基本不等式的形式,以此来求值域。
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七、数形结合
可根据函数给出的式子,画出函数的图形,在图形上找出对应点求出值域
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八、求导法
求出函数的导数,观察函数的定义域,将端点值与极值比较,求出最大值与最小值,就可的到值域了。
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九、判别式法
将函数转变成 ****=0 的形式,再用解方程的方法求出要满足的条件,求解即可。